Rozszerzona ścieżka matematyczna

Tę myśl Polya rozwija dalej w sformułowanych dziesięciu przykazaniach dla nauczycieli:

Najlepszy sposób na nauczenie się czegokolwiek, to odkrycie tego samemu (przykazanie 3.).

Jesteśmy często przekonani, że umiejętność odkrywania czegokolwiek samemu przysługuje bardzo niewielu z nas. To nie jest tak. Nie chodzi o odkrycie epokowe: odkrycie prawa ciążenia przez Newtona, teorii względnosci przez Ensteina czy udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata przez Wilesa. Chodzi czasem o odkrycie maleńkie, z pozoru nic nie znaczące, a wielkie dla odkrywającego, którym nie jest Newton, Einstein czy Wiles, ale jest mały Jaś w VI klasie.

Często mówię uczniom, a także nauczycielom na różnych wykładach, że pewnego zjawiska w nauczaniu nie rozumiem. Jeśli na lekcji historii nauczyciel opowie uczniom o przyczynach i przebiegu wojny stuletniej, poprosi uczniów, by jeszcze przeczytali o tym w podręczniku (albo nawet dodatkowo w znakomitej wielotomowej książce Maurice’a Druona), by wreszcie kazać im opowiedzieć to samodzielnie, to wszystko jest zrozumiałe. Uczeń słucha, czyta (jeśli potrzeba, to wielokrotnie), czasem zapisuje, zapamiętuje, by to, co zapamiętał odtworzyć – mniej lub bardziej dokładnie. Ja na matematyce robię coś podobnego. Uczę początków geometrii, pokazuję przykłady najprostszych twierdzeń geometrycznych, pokazuję, w jaki sposób dowodzi się tych twierdzeń i w jaki sposób zapisuje się dowody, by wreszcie dać uczniom zadania. W klasie rozwiązujemy na tablicy około 20 zadań, omawiając starannie rozwiązania i bardzo starannie je zapisując na tablicy. Jeśli teraz poproszę uczniów na klasówce, by przedstawili rozwiązania trzech z tych 20 zadań i oni to na ogół robią bez większych problemów, to wszystko jest zrozumiałe. To jest tak jak z tą wojną stuletnią, tyle tylko, że rozwiązania zadań różnią się od opisu wojny symboliką matematyczną. Ale proces umysłowy u ucznia jest taki sam: słucha, czyta, zapisuje, zapamiętuje, odtwarza. To jest jasne.

Ale tu przychodzi coś, czego nie rozumiem. Daję uczniom na klasówce nowe zadanie – żadne z tych 20 zadań, które znają. Jest to zadanie, którego nigdy przedtem nie widzieli, często takie, że nie widzieli nawet zadania bardzo podobnego. I oni to zadanie rozwiązują. Co się dzieje w ludzkim umyśle, że potrafi znaleźć coś, czego nigdy nie doświadczył? Jak to się dzieje, że uczeń ODKRYWA samodzielnie rozwiązanie, którego nigdy przedtem nie widział? Pisze wyraźnie ODKRYWA, bo rozwiązanie nowego zadania, którego uczeń nigdy nie widział, z reguły wymaga odkrycia. Wymaga ODGADNIĘCIA tego, co w tym rozwiązaniu jest najważniejsze: dostrzeżenia, że możemy obliczyć miary wielu kątów, stosując znane już twierdzenia, dostrzec dwa trójkąty przystające, czasem dorysować jakiś odcinek, którego nie ma na rysunku, by zobaczyć te trójkąty itp. Odgadnięcie, co trzeba zrobić, jest właśnie takim odkryciem, o którym piszę, i które – jak wynika z całej książki – miał na myśli Polya.

O wielkiej roli odkrycia w nauczaniu pisał znany pedagog Jerome S. Bruner w artykule „Akt dokonywania odkrycia”. Fragment tego artykułu warto tu przytoczyć.

Majmonides w swym „Przewodniku dla zdezorientowanych” (lub „błądzących” według innego tłumaczenia) – pisze Bruner – mówi o czterech formach doskonałości, do jakich człowiek może dążyć. Pierwszą, najniższą formą, jest doskonałość w gromadzeniu dóbr doczesnych. Wielki filozof odrzuca taką doskonałość – na tej podstawie, że gromadzona własność nie pozostaje w żadnym znaczącym związku z właścicielem. „Wielki król może pewnego dnia stwierdzić, że nie ma żadnej różnicy między nim a najnędzniejszym z ludzi”. Druga doskonałość jest doskonałością ciała, jego siłą i sprawnością. Wada jej tkwi w tym, że nie rzutuje ona na to, co w człowieku jest specyficznie ludzkie: „Człowiek nigdy nie może być tak silny, jak muł”. Trzecią z kolei jest doskonałość moralna, „najwyższy stopień doskonałości charakteru człowieka”. O tej doskonałości Majmonides powiada: „Wyobraźcie sobie człowieka, który jest sam i z nikim zupełnie nie ma kontaktu; wszelkie jego dobre zasady są w bezruchu, są niepotrzebne i żadnej doskonałości człowiekowi nie dają. Zasady owe są niezbędne i użyteczne dopiero wtedy, gdy człowiek styka się z innymi ludźmi”. „Czwarty rodzaj doskonałości jest prawdziwą doskonałością człowieka: posiadanie najwyższych zdolności intelektualnych”. Uzasadniając swą tezę ten niezwykły filozof hiszpańsko-żydowski nalega: „Przyjrzyjcie się dokładnie pierwszym trzem rodzajom doskonałości, a stwierdzicie, że jeśli je posiądziecie, nie będą one waszą własnością, będą należały do innych… Ostatni jednak rodzaj doskonałości jest wyłącznie wasz; żadna jej cząstka nie należy do nikogo innego”.

Przypuszczenie podobne do poglądu Majmonidesa skłoniło mnie – pisze dalej Bruner – do zajęcia się aktem dokonywania odkryć w życiu intelektualnym człowieka. Jak bowiem doskonałość intelektualna człowieka jest najwyższą spośród jego doskonałości, tak również najbardziej osobiste i niepowtarzalne w tym, co człowiek wie, jest to, co sam odkrył.

… Rzadko zdarza się, na pograniczach wiedzy czy gdziekolwiek indziej, odkrycie nowych faktów w takim sensie, jaki sugerował Newton mówiąc o natrafianiu bez mapy na wyspy prawdy wśród morza niewiedzy. Jeśli jednak wygląda na to, że odkrycie nastąpiło w ten właśnie sposób, dzieje się tak prawie zawsze dzięki trafnie postawionej hipotezie, dokąd płynąć. Odkrycie, podobnie jak zdziwienie, faworyzuje umysły dobrze przygotowane. Tyle Bruner.

Odkrycie faworyzuje umysły dobrze przygotowane. I to właśnie jest naszym celem. Dobrze przygotować umysły naszych uczniów. Do tego, by uczeń odkrył cokolwiek sam, najczęściej potrzebna jest pomoc nauczyciela. Ta pomoc często musi być bardzo duża. W uwagach, które formułuję dalej, chcę zatem skoncentrować się na roli nauczyciela w nauczaniu matematyki.

1. W uczeniu się matematyki konieczna jest systematyczność.

2. Bardzo cenne są takie działania dydaktyczne jak projekty, warsztaty (stacjonarne lub wyjazdowe), zawody itp. Nie zastępują one jednak systematycznej nauki, ale ją tylko uzupełniają.

3. W nauczaniu matematyki konieczne jest zadawanie pytań przez nauczyciela (tutora). Uczeń, który samodzielnie rozwiązuje zadanie, wielokrotnie nie ma świadomości, dlaczego to zadanie było mu dane. Dopiero pytania nauczyciela kierują uwagę ucznia na właściwy temat zadania.

4. W nauczaniu matematyki konieczne jest rozwijanie u ucznia zdolności rozumowania. Tę zdolność powinniśmy rozwijać od najmłodszych lat. Najbardziej naturalnym środkiem dydaktycznym jest pytanie nauczyciela „dlaczego?”. Uczeń, który rozwiązał zadanie, nie jest często świadomy konieczności wyjaśnienia, dlaczego jego rozwiązanie jest właśnie takie, dlaczego jego rozwiązanie jest poprawne itp. Uświadamia mu to dopiero pytanie nauczyciela. Jak pisałem wyżej, podstawową umiejętnością, której mamy nauczyć na matematyce, jest umiejętność dowodzenia. Zaczynamy jej uczyć w szkole podstawowej, zadając pytanie „dlaczego?” w sytuacjach, w których uczeń nie jest nawet świadomy, że uczymy go matematyki. Ale odpowiedź na pytanie „dlaczego?” jest pierwszym krokiem w uczeniu rozumowania, uczeniu dowodów matematycznych. W gimnazjum zaczynamy dawać uczniom zadania na dowodzenie. W obecnym systemie szkolnym powinno się to pojawić około VI-VII klasy i być rozwijane w klasie VIII. Wreszcie dowodzenie jako cel uczenia matematyki powinno być jasno przedstawione uczniowi w liceum. Uczymy różnych technik matematycznych, rozwijamy jego wiedzę, cały czas przestrzegając zasady, że wszystko powinno być wyjaśnione, udowodnione lub pozostawione bez dowodu (ale sformułowane jako twierdzenie), gdy dowód wykracza poza możliwości licealisty lub gdy z innych powodów decydujemy się go nie pokazywać. Jednak uczeń musi mieć świadomość, że to, czego go uczymy, nie wzięło się „z nieba”, nie jest wynikiem obserwacji, doświadczenia, ale jest twierdzeniem, które ktoś kiedyś udowodnił, a my tylko z jakiegoś istotnego powodu tego dowodu na lekcji nie pokazujemy.

5. Uczeń najczęściej rozwiązuje zadanie jednym sposobem i nie dostrzega innych dróg prowadzących do rozwiązania. Znane jest zjawisko polegające na tym, że po znalezieniu jednej drogi rozwiązania, nie jesteśmy w stanie od niej się oderwać i szukać innych dróg. Jest to szczególnie irytujące wtedy, gdy znalezione rozwiązanie jest błędne (zawiera istotny błąd, zawiera błąd dający się poprawić, zawiera lukę w rozumowaniu) i nie potrafimy oderwać się od jednej myśli, by poszukać innej, prowadzącej do rozwiązania poprawnego. Uczeń poznaje inne rozwiązania zadania na lekcji, gdy widzi rozwiązania kolegów, gdy widzi inne rozumowania pokazane przez nauczyciela, gdy dostaje od nauczyciela zadanie pomagające mu skierować swoje myśli na inną drogę.

6. Niezwykle ważne jest, by uczeń widział błędne drogi w rozwiązaniach zadań. Tylko bardzo niewielka część uczniów nie popełnia błędów (czasem nazywamy ich wybitnymi). Większość wcześniej czy później takie błędy popełni. Cechą charakterystyczną błędu w rozumowaniu jest to, że nie widzimy, iż jest to błąd. Nie widzimy zatem, dlaczego nasze rozumowanie stało się niedobre, nie widzimy, co zepchnęło nas z dobrej drogi, nie rozumiemy często metod, które stosowaliśmy i nie widzimy, dlaczego akurat w tym przypadku te metody zawiodły, nie rozumiemy zatem zakresu stosowalności użytych metod, nie widzimy jeszcze wielu innych problemów. Zaczynamy lepiej rozumieć stosowane metody, gdy dostrzegamy popełniane błędy – nasze lub naszych kolegów; błędy ujawniane w czasie lekcji, w czasie dyskusji pod okiem nauczyciela. Uczeń, który rozwiązuje zadanie poprawnie i nie popełnia błędów, najprawdopodobniej kiedyś je popełni. Jeśli pozostawimy ucznia w nieświadomości możliwych błędów, może popełnić je w najgorszym momencie (w ważnej dla niego pracy, na egzaminie, w czasie konkursu itp.). Dlatego ujawnianie błędów w rozumowaniach jest jednym z ważniejszych zadań stojących przed nauczycielem matematyki.

7. Uczeń rozwija się, gdy rozwiązuje zadania o trudnościach na granicy jego możliwości. Jest to jednakże możliwe wyłącznie wtedy, gdy pracuje pod kontrolą nauczyciela (tutora), który cały czas monitoruje jego pracę i jego postępy. Uczeń, który sam dobiera zadania, może mieć tendencję do powtarzania podobnych zadań, których sprawne rozwiązanie sprawia mu przyjemność. Jest to oczywiście bardzo ważne, gdyż prowadzi do utrwalenia umiejętności. Ale jest niewystarczające do rozwoju ucznia. W rozwiązaniu kolejnego zadania uczeń powinien napotkać jakąś nową trudność; pokonanie takiej trudności ucznia rozwija. Powtarzanie tych samych trudności utrwala wiedzę (pamiętajmy: repetitio est mater studiorum), ale dopiero pokonywanie nowych trudności tę wiedzę i te umiejętności poszerza. Pamiętajmy jednak, że uczeń nie wybierze samodzielnie zadania, w którym widzi nową trudność już na samym początku i często nie wybierze także zadania, w którym nie widzi przynajmniej naszkicowanej całej drogi prowadzącej do rozwiązania. George Polya pisał: „nie ujawniajcie od razu całego sekretu – niech uczniowie odgadują go, zanim zostanie ujawniony – niech znajdą sami tyle, ile to jest możliwe”. Podkreślę te słowa: „niech znajdą sami tyle, ile to jest możliwe”. W tej zasadzie kryje się najważniejsza, moim zdaniem, istota rozwoju matematycznego ucznia. Uczeń pozostawiony sam sobie z problemem go przerastającym, zniechęca się, odrzuca problem i szuka innego. Uczeń, który dostaje problem zbyt łatwy, może też go odrzucić, bo jest po prostu nieciekawy, a może go rozwiązać, bo samo rozwiązywanie sprawia mu przyjemność – jednakże nie uczy się nowego. Rozwijające jest rozwiązywanie zadań, które wymagają pokonywania nowych trudności, ale wtedy często potrzebna jest pomoc nauczyciela. Pomoc, która polega nie na rozwiązaniu zadania za ucznia (co jest najczęstszą praktyką korepetytorów), ale która polega na podsunięciu sugestii, zadaniu odpowiedniego pytania, przypomnienia innego zadania itp. – tak by uczeń rozwiązał z danego zadania tyle, ile jest w stanie – po pokonaniu tych trudności, które mógł pokonać.

8. Podsumujmy, jakie są najważniejsze powody dla obecności nauczyciela (tutora) w czasie nauczania matematyki: zadawanie pytań, których uczeń sam nie zada (w szczególności pytania najczęstszego „dlaczego?”), pomoc dla ucznia wtedy, gdy jest potrzebna – nie za mała i nie za duża – tak, by uczeń pokonał samodzielnie te trudności, które jest w stanie pokonać. Mówiąc inaczej, sprowadzić zadanie trudniejsze do takiego, które uczeń już rozwiąże samodzielnie i które przy tym będzie go rozwijać.

9. W moim programie nauczania matematyki dla gimnazjum próbowałem pokazać, że ważne są odpowiedzi na pięć podstawowych pytań:

– Kogo uczymy?

– Czego uczymy?

– Ile czasu uczymy?

– Jak uczymy?

– Kto uczy?

Odpowiedziami na te pytania, które są ważne nie tylko na poziomie gimnazjum, zajmę się w rozwinięciu tego tekstu – ale to później.

10. Wreszcie chcę tu przytoczyć trzy powody, które podaję w odpowiedzi na pytanie, dlaczego w ogóle uczę matematyki i dlaczego warto jej uczyć w szkole. 

– Jest przydatna

– Uczy nas uporządkowanego myślenia.

– Jest piękna.

Na tym na razie zakończę ten tekst. I tak rozrasta się ponad moje oczekiwania. Na zakończenie ostatni cytat:

… bo w wielkiej mądrości — wiele utrapienia, a kto przysparza wiedzy — przysparza i cierpień. (Koh 1, 18)